}$ Series with a reciprocal of the central binomial coefficient. I am struggling due to insufficient background in a graduate course and feel like a moron. $$. It only takes a minute to sign up. What tools are there to investigate why my FICO score would have dropped significantly? Mais l’autre but de cet article est de montrer comment trouver une autre expression de sommes utilisant des coefficients binomiaux par calcul ou par dénombrement. Tu es sur la bonne voie mais il faut faire un cran de plus : et essayer de majorer la somme (majore chaque terme par et la somme par   ). A comment almost 7 years later : this is very elegant. J'ai rectifié. Now changing integration variable $x = \frac{1}{2} + u$: &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{6}\\ To get an exact formula, one can use a method similar to @Sasha's while (i) being somewhat simpler and (ii) avoiding a step I find unclear. Viewed 6k times 38. Si tu as un résultat en majorant fais-le ! $$ \end{eqnarray} $$. $$ Thus, for $n\ge4$, Chercher la monotonie de de la suite . Thanks for contributing an answer to Mathematics Stack Exchange! Assuming $C_n^k$ stands for $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! Hence The determination of the limit is direct, keeping only the first and last terms and bounding the others. S_n=\frac{n+1}{2^n}\sum_k{n+1\choose 2k+1}\frac1{2k+1}\left[z^{2k+1}\right]_{0}^1, $$ For large $n$ the sum approaches the value of $2$ from above: I am hoping this sum has a nice probabilistic underpinnings to it. Is $C^{i}_j$ meant to be the binomial coefficient $i$ choose $j$, $\binom{i}{j}$, or a constant $C_n$ raised to different powers? Luzak a dit que ma démo avec la partie entière est inutilement compliquée, je connais que cette façon de faire. &=\frac{2^{n+1}}{n+1}+\frac{2^n}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{5}\\ On ne va pas jusqu'à (n 2n)à mais (n n). &=& \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} 2^{2k-n-1} \left(\left((2 n+1) \binom{n}{2k-1}-\binom{n}{2k}\right)+\binom{n+1}{2k}\right) \underbrace{\int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{4 u^2} u^{2 k}}_{\frac{1}{4^k} \frac{1}{2k-1}} \\ Is the sequence of sum of $\binom{n}{k}^{-1}$ bounded? Nous allons utiliser une démonstration ensembliste utilisant les dénombrements et cardinalités. Bonjour, Soit la suite définie pour tout par : Démontrer que cette suite converge et préciser sa limite. S = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\binom{n}{k}} = \int_0^1 \sum_{k=0}^n k (1-x)^{k-1} x^{n-k} \mathrm{d} x = \int_0^1 \frac{x^{n+1} -(1-x)^n ((2n+1)x-n)}{(1-2x)^2} \mathrm{d} x En déduire une expression simplifiée de Yn k˘1 cos µ a 2k pour tout n 2N⁄. Ask Question Asked 8 years, 5 months ago. $$\begin{eqnarray} What is the Levi-Civita connection trying to describe? Furthermore, there are $n^{1/3}$ terms, so the sum is bounded by $\frac{n^{2/3}}{n(n-n^{1/3})}$. Pour la majoration je trouve pas la même chose que vous : donc donc Alors : D'où : Soit : Bonjour, Quand je vois ta majoration de je me suis dit que c'est trop large. }$ macOS Big Sur creates duplicate versions of files. and therefore $$ Je vois pas comment partir. Définition Comme son nom l'indique, la fonction inverse associe à chaque nombre de son ensemble de définition une image qui correspond à l'inverse de ce nombre, elle est définie par la formule: f(x) = 1 x Ensemble de définition \begin{align} @Toureissa Je trouve : Je dois calculer les différence pour   à ? Would a portable watchtower be useful for the premodern military? Les fonctions - cours de seconde Fonctions de réference fonction inverse. $$ How can an inn's dining room furniture be designed for different sized species? Will my wooden bridge withstand the weight of my small truck? salut pour simplifier je note b(n, k) le coef bin ... avec 0 =< k =< n b(n, 0) = b(n, n) = 1 et pour 0 < k < n : b(n, k) > n/2 <=> 1/b(n, k) < 2/n donc u(n) =< 2 + (n - 2)2/n bon c'est insuffisant  ... donc reprenons : b(n, 0) = b(n, n) = 1 b(n, 1) = b(n, n-1) = n et 1 < k < n - 1 => b(n, k) >= n(n - 1)/2 <=> 1/b(n, k) =< 2/n(n - 1) et c'est fini ... Oui carpediem c'est fini (encore qu'il faille tenir compte des inégalités de ce genre) mais IL refuse d'utiliser qu'il ne sait pas démontrer. Calculate sums of inverses of binomial coefficients. site design / logo © 2020 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under cc by-sa. How accurate are the wormhole visualizations in Interstellar? Somme des coefficients binomiaux. Remarque : en appliquant l’ident… \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}=2\tag{12} Prenons : Après une rapide étude de la fonction je trouve le maximum de la fonction donc un majorant : Si : alors comme n est non nul puisque supérieur à 3 : On a donc : Mais ici je bloque un peu car cette inégalité je vois pas comment l'appliquer et à qui car j'ai des factorielles ... @Ramanujan : Tu as dit toi-même que les coefficients vont en croissant jusque donc si tu as certainement . @Carpediem Difficilement lisible avec votre syntaxe C'est quoi ces inférieurs stricts ? et : Le produit donne des termes en xn pour les produits des xi et xjavec i+j = n. Donc le coefficient correspondant à C2nnest la somme des coefficients de tous ces termes correspondant à i+j=n. @Razes : il ne s'agit pas de majorer les coefficients binomiaux  mais de les minorer, on fait la somme des inverses. Is this “combinatorial” sum equal to $1$ for every natural $m$? How to calculate the sum of sequence $$\frac{1}{\binom{n}{1}}+\frac{1}{\binom{n}{2}}+\frac{1}{\binom{n}{3}}+\cdots+\frac{1}{\binom{n}{n}}=?$$ How about its limit? \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}} \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{k+1}}\right) $$ $$ Utilisons la formule du pion pour extraire p. On vérifie que pour n=0, d’une part, et p=0 d’autre part cela marche aussi. 26 $\begingroup$ How to ... Limit of a Sum with Reciprocal Binomial Coefficients. $$, $\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{n-k}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! $$ $(5)$: multiply both sides by $\frac{2^n}{n+1}$ HPrépa une collection au top pour réviser les concours, Résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre. \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} &=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{7}\\ C’est : Nous allons voir comment la formule du pion et la formule de Vandermonde peuvent être utilisées. \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} Remarque : en appliquant l’identité de Vandermonde au triplet (n,n,n) on retrouve cette formule (il faut aussi utiliser Cnk = Cnn-k). &\le2+\frac4n\tag{10} Pierre Cazals. Bonjour. $$ $$ J'ai des doutes sur la croissance de la suite. Calculons : On sait que : et que : Exprimons donc en la développant l’expression de (1+x)2n. }$, and using, for $k>0$: En effet, la condition sur les indices i,j>0 et i+j=n se traduit par un seul indice i variant de 0 à n et on remplace j par n-i. Et maintenant que tu as satisfait ta curiosité concernant un résultat évident, fais les majorations utiles et conclus pour la limite de ta suite. Convert single speed, steel framed, vintage track bike to geared. $$, $$ \frac1{\binom{n}{k+1}}&=\frac{k+1}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{2}\\ Mais si c'est pour trouver je ne vois pas d'issue. Finding $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n { n \choose k}^{-1}$. What does $\lim \limits_{n\rightarrow \infty }\sum \limits_{k=0}^{n} {n \choose k}^{-1}$ converge to (if it converges)? On rappelle que les indices dans la notation Cjisont inversés par rapport à la notation avec les parenthèses. (1+x)^n(1+x)^n $$ @Arturo: My guess is that $C_n^k$ is meant to be $\binom{n}k$, with the subscript and superscript interchanged for some reason. Par symétrie des coefficients binomiaux on a encore cette inégalité pour k variant de 0 à n-2. Your email address will not be published. $$ Ce que trouve compliqué c'est de prendre 11 lignes pour écrire ce qui tient en une seule ligne (comme écrit à 08:09). By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy, Privacy Policy, and our Terms of Service. En identifiant les coefficients de même degré des polynômes résultant de (1+x)n+m d’une part et (1+x)n(1+x)m d’autre part, on arrive à la formule de Vandermonde. S_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}^{-1}=(n+1)\int_0^1u_n(x)\mathrm dx,\quad u_n(x)=\sum_{k=0}^nx^{n-k}(1-x)^k. &=\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{3}\\ $$ To learn more, see our tips on writing great answers. Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience. \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}=2\tag{12} $$ &=\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{3}\\ \begin{align} Thus, &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{6}\\ $(4)$: Add $\frac1{\binom{n}{n\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{0}}=2$ to both sides Devenir fort en Maths pour intégrer une prépa scientifique. 2\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} • Monotonie Et Calculer la somme  des pour n=3,n=4 et remarquer qu'elle est plus grand que 1 à partir de n=4. Le produit donne des termes en xn pour les produits des xi et xj avec i+j = n. Donc le coefficient correspondant à C2nn est la somme des coefficients de tous ces termes correspondant à i+j=n. \frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}&=\frac{n-k}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{1}\\ \sum_{k=1}^n{n\choose k}^{-1}=S_n-1=\frac1{2^n}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}2\rfloor}{n+1\choose 2k+1}\frac{n+1}{2k+1}-1. What are jazz pianists playing in the background? Summing up, The identity was initially discovered using, Calculate sums of inverses of binomial coefficients, cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL7/Sury/sury99.pdf, Question closed notifications experiment results and graduation, Finding sum of $\lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}^{-1}$, Limit of a Sum with Reciprocal Binomial Coefficients. (n-2k+1)!} ben tu y mets des inégalités larges là où il faut ... et c'est on ne peut plus limpide ... luzak : oui bien sur !! When interested in the limit only, just observe that for $2 \leq k \leq n-2$, we have Si elle  est croissante   tu cherche un majorant ; Si elle est décroissante tu cherche un minorant. $$ \sum_{k=0}^n \frac{1}{\binom{n}{k}} = \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{n+1-k} \frac{1}{2^k} Active 5 months ago. Using the change of variables $x=\frac12(1+z)$ with $-1\leqslant z\leqslant 1$ yields }$, $\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! Therefore, for $n\ge4$, Thus sinon, grâce à la formule du triangle de Pascal. La formule de Vandermonde (on dit aussi l’identité de Vandermonde) terminera ce post. \end{align} soit la 5ième ligne de calcul. En mathématiques, le triangle de Pascal, est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. 2. Bonjour Ramanujan, Appliquer le théorème célèbre de la convergence : Toute suite croissante majorée est convergente et toute suite décroissante minorée est convergente. Cqn-k est non nul uniquement pour n=k. Hard summation involving binomial and quadratic, Upper bound on sum of binomial coefficients, Identity of binomial coefficients with a series, Convergence of partial sums and their inverses, Combinatorial identity with binomial coefficients, Multiple sum involving binomial coefficients, Proving Binomial identity involving algebraic expression, Bounding limit of sum of binomial coefficients. \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{k+1}}\right) \begin{align} 1. What is the best way to convince clients to send original image files instead of screenshots of images? \stackrel{\ast}{=} \sum_{k=1}^n \frac{n+1}{n+1-k} \frac{1}{2^k} Merci de me l'avoir signalé. Démonstration tirée de cet excellent livre p 456. rev 2020.11.17.38013, The best answers are voted up and rise to the top, Mathematics Stack Exchange works best with JavaScript enabled, Start here for a quick overview of the site, Detailed answers to any questions you might have, Discuss the workings and policies of this site, Learn more about Stack Overflow the company, Learn more about hiring developers or posting ads with us. En tous cas merci de votre site. To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Modified the title (note that there is no, $$ Comme ton (sic) me fait peur ! \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} How can I prevent a computer from turning ON? u_n(x)=\frac{x^{n+1}-(1-x)^{n+1}}{2x-1}. &=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{7}\\ \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} $(2)$: Binomial identity: $\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! &\le2+\frac2n+\frac{n-3}{\binom{n}{2}}\tag9\\ \end{align} Ok je vais suivre votre méthode mais une question : Comment savez vous que il faut un "cran" de plus et faire apparaitre la somme de 2 à n-2 et non de 1 à n-1 ? k se lit de gauche à droite sur la n-ième ligne en partant de 0 jusqu'à n.. }$, $\frac1{\binom{n}{n\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{0}}=2$, $a_n=\frac{2^{n+1}}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}$, $$ $$, $$ I’ve seen that reversal here at least once before. What are these shiny wrist plates worn by astronauts in the SpaceX crew capsule. Comme c'est un calcul que je n'arrive pas à comprendre pourriez vous m'aider en rétablissant si besoin la bonne écriture dans la 5ième ligne ou me donner une indication. @Luzak Ceci est l'inverse d'un coefficient binomial : donc le raisonnement est juste. Où ai-je dit le contraire ? \end{align} Bonjour, effectivement, une coquille s'est glissée. Il faudra sans doute faire une refresh de la page. If you distribute GPL-code as non-GPL, can the receiver redistribute it as GPL? $(7)$: multiply both sides by $\frac{n+1}{2^{n+1}}$, For $2\le k\le n-2$, we have that $\binom{n}{k}\ge\binom{n}{2}$. &=2+\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{4}\\ $$ on somme convenable (avec le bon nombre de termes) pour obtenir (une majoration de) u_n, @Luzak Il sort d'où votre ? Tu aurais pu écrire les coefficients pour une ligne du triangle de Pascal et voir tout seul une bonne minoration ! Thus This elementary approach, based on the fact that the sum of two consecutive reciprocals of binomials is the reciprocal of a binomial times a factor is really nice! Exprimons donc en la développant l’expression de (1+x)2n. $$. Like @Sasha, one starts with a beta representation, namely, La calculatrice Python de Numworks : voici pourquoi c’est important ! &=\overset{\substack{k=0\\k=n\\\downarrow\\[3pt]\,}}{2\vphantom{\frac2n}}+\overset{\substack{k=1\\k=n-1\\\downarrow\\[3pt]\,}}{\frac2n}+\sum_{k=2}^{n-2}\frac1{\binom{n}{k}}\tag8\\ \frac{2^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} [Produit des coefficients binomiaux ♪♪] (ind)On définit la suite (un)n˚1 par un ˘ˆˆ n Tout ça pour "découvrir" qu'une famille symétrique par rapport à varie en sens contraire sur les entiers séparés par . $$ D'après le lien donné par Razes, s'il y a une limite elle vaut 2. Use MathJax to format equations. and finally $$ Note that $u_n(x)$ is a geometric series, hence Does the Protection from Evil and Good spell kill the host of an Intellect Devourer? $$ @Luzak Le problème étant que j'ai toujours pas compris ceci : Les coefficients du binôme vont en croissant pour k allant de 0 à d'où l'inégalité ci dessus pour  k allant de 0 à . By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service, privacy policy and cookie policy. PCSI2 \2017-2018 Laurent Kaczmarek 16 . Prenons , c'est quoi le majorant de pour en déduire le majorant de ton expression. 1. luzak re : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 16:57 Ce n'est pas ta démonstration pour que je critiquais (on peut la simplifier mais ce n'est pas un problème). {n\choose k}^{-1}=(n+1)\int_0^1x^{n-k}(1-x)^k\mathrm dx. Je comprends pas grand chose. On note C(n,p)=n!/p!(n-p)! Nous allons maintenant démonter la formule de Vandermonde par récurrence. $$\frac{1}{\binom{n}{k}} \leq \frac{1}{\binom{n}{2}} = \frac{2}{n(n-1)}.$$ Ce que trouve compliqué c'est de prendre 11 lignes pour écrire ce qui tient en une seule ligne (comme écrit à 08:09). Explanation, $(1)$: Binomial identity: $\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{n-k}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! pour chercher un majorant Il faut remarquer que. $$ $$ 2 \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\binom{n}{k}} \leq 2 + \frac{2}{n} + \frac{2(n-3)}{n(n-1)} \xrightarrow[n\to\infty]{} 2$$ Asking for help, clarification, or responding to other answers. @darijgrinberg: $\left|\frac1{n-k}-\frac1n\right|=\frac{k}{n(n-k)}\le\frac{n^{1/3}}{n(n-n^{1/3})}$ because it's biggest when $k$ is. $$ &\le2+\frac4n\tag{10} $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\binom{n}{k}} = 2.$$, Here is a method that I just came up with in chat \frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}&=\frac{n-k}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{1}\\ Ok Luzak j'abandonne les parties entières et je suis votre méthode. J'ai un indice dans mon livre car on avait montré dans un chapitre précédent que la fonction : définie sur est croissance sur Si j'écris :   Avec : :   Mais il faudrait montrer que j'ai cette inégalité pour k allant de   comment faire ? &\le2+\frac2n+\frac{n-3}{\binom{n}{2}}\tag9\\ A noter que les coefficients binomiaux sont les coefficients dans les termes du développement de la somme (a+b)^n donc sont forcément des entiers. looking for a story where Satan is the sane, stable one. Et en plus je ne vois pas ta démonstration de : tu apprendrais plus en le faisant que de recopier ad nauseum des résultats lus ici ou là. $$ I got lost at the moment when the sum on $k\leqslant\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor$ becomes a sum on $k\leqslant n$ (last equality before, @did I have updated the answer. 11. What can I do to a 6 month child so she end up smart and have high IQ? }{ (2k-1)! En effet Cji est nul quand on n’a pas 0≤i≤j, par convention. Je pense plutôt à une décroissance à partir de . Mais je vois pas comment démontrer : Bonjour je croyais que tu savais montrer la croissance des coeffs binomiaux sur la première moitié de chaque ligne ? Les coefficients pour 0 ≤ k ≤ n figurent à la n-ième ligne.Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. $(6)$: $a_n=\frac{2^{n+1}}{n+1}+a_{n-1}$ where $a_n=\frac{2^{n+1}}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}$ \frac1{\binom{n}{k+1}}&=\frac{k+1}{n}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{2}\\ You may use these HTML tags and attributes: Je pense qu'une erreur s'est glissée dans la ligne : 2+\frac2n\le\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k}}\le2+\frac4n\tag{11} Récurrence ? En fait je pensais à un encadrement et utiliser le théorème des gendarmes : je voulais poser : et voir si cette fonction est croissante ou décroissante sur afin de majorer la somme. Stack Exchange network consists of 176 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Is the sequence of sum of $\binom{n}{k}^{-1}$ bounded? En fait il n'arrive pas à voir que car il a admis (je ne crois pas qu'il arrive à le démontrer) que. (1) : d’après l’hypothèse de récurrence appliquée à (p,q,n) mais aussi à (p,q,n-1). \frac{1}{\binom{n}{k}} = k \operatorname{Beta}(k,n-k+1) = k \int_0^1 (1-x)^{k-1} x^{n-k} \mathrm{d} x u_n(x)=\frac{(1+z)^{n+1}-(1-z)^{n+1}}{2^{n+1}z}=\frac1{2^{n}}\sum_k{n+1\choose 2k+1}z^{2k}. $$ &=& \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{4 u^2} \sum_{k=2}^{n+1} 2^{k-n-1} \left((-1)^k \left((2 n+1) \binom{n}{k-1}-\binom{n}{k}\right)+\binom{n+1}{k}\right) u^{k} \\ (2) : d’après la formule du triangle de Pascal. S &=& \int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{4 u^2} \left( \left(\frac{1}{2}+u\right)^{n+1} - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-u\right)^n \left( 1 + 2 (2n+1) u\right)\right) \\ Crédit image : cooldesign à FreeDigitalPhotos.net. MathJax reference. Ce n'est pas ta démonstration pour que je critiquais (on peut la simplifier mais ce n'est pas un problème). \begin{align} $$ Désolé, votre version d'Internet Explorer est, re : Somme des inverses des coefficients binomiaux, Familles numériques sommables - supérieur, Complément sur les Séries de fonctions : Approximations uniformes - supérieur. $(3)$: Add $(1)$ and $(2)$ and sum $\vphantom{\frac{()}{()}}$ Au passage, et surtout parce que nous allons l’utiliser ci-après… Un petit mot sur la formule du pion. Mathematics Stack Exchange is a question and answer site for people studying math at any level and professionals in related fields. Ah, I see; I got the inequality sign wrong. Nice proof of (7), but how do you get the $n^{2/3}$ in the numerator in the limit argument? Je trouve : Après je sais pas appliquer les factoriels aux inégalités. &=2+\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{4}\\ Si l'égalité est vrai sur comment montrer qu'elle l'est sur : On sait que :  . 2\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} \end{align} Simplifier sin(2x) sin(x)pour tout x 6˘0[…]. \cdot k! Des liens pour découvrir. $$ What happens to where umbilical lines are connected when a rocket lifts off? &=& \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} \frac{1}{2^{n}} \frac{1}{2k-1}\frac{(n+1)! and the Squeeze Theorem says 17 . En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de cookies, pour réaliser des statistiques et vous proposer des offres et services adaptés à vos besoins. On considère la suite u définie par u(n):=somme de p=0 à n de 1/C(n,p) (Désolé je ne me suis pas encore mis à Latex) Je sais que la suite converge vers 2 (le théorème des gendarmes permet de le prouver) mais je n'arrive pas à prouver que la suite est dé Mais j'ai envie de comprendre comment obtenir ça avant de calculer la limite : Si n pair : Si n impair : Ca marche bien car : Voici mon calcul de la limite : : Or : D'où : : Par sommation : Soit : D'après le théorème des gendarmes : Enfin : une remarque : pour montrer la croissance d'une suite il suffit de compare deux termes consécutifs (c'est la richesse du cas discret ...) donc il suffit de le faire pour 0 p q = p + 1 n/2 ... Vous devez être membre accéder à ce service... 1 compte par personne, multi-compte interdit ! On rappelle que les indices dans la notation Cji sont inversés par rapport à la notation avec les parenthèses.

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